纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢! 

数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是并全是数学证明最好的办法,常用于证明命题(命题是对某个大问题的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了有些有些领域(比如数学分析)的基础,统统有数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法并全是非常简单。由于着你要要们 歌词 你要证明某个命题对于自然数n都成立,如此:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下上面的有有有2个步骤。它们实际上由于着,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。如果,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,你要要们 歌词 选泽n的倒下会由于着n + 1的倒下,如果推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

你要要们 歌词 来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(你你你这名公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,须要算出1到5000的累加,不都可以回家。于是高斯想出了上面的最好的办法。天才全部还会被逼出来的么?)

你要要们 歌词 的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,如果命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    如此,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。如果,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

如果,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指有有有2个计算机系统进程运行调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求系统进程运行有有有有2个不让都可以达到的终止条件(base case)。比如下面的系统进程运行,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在系统进程运行中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。你要得到f(n),须要计算f(n-1);你要f(n-1),须要计算f(n-2)……直到f(1)。由于着你要要们 歌词 由于着知道了f(1)的值,你要要们 歌词 就不都可以否 填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的系统进程运行实现。使用递归设计系统进程运行的如果,你要要们 歌词 设置base case,并假设你要要们 歌词 会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,你要要们 歌词 只关注初始和衔接,而不须要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据底部形态实现的。正如你要要们 歌词 上面所说的,计算f(n),须要f(n-1);计算f(n-1),须要f(n-2)……。你要要们 歌词 在寻找到f(1)如果,会有有些空缺: f(n-1)的值哪此? f(n-2)的值是哪此? …… f(2)的值是哪此?f(1)的值是哪此? 你要要们 歌词 的第有有有2个大问题是f(n)是哪此,结果,你你你这名大问题引出下有有有2个大问题,再下有有有2个大问题…… 每个大问题的解答都依赖于下有有有2个大问题,直到你要要们 歌词 找到第有有有2个不都可以否 回答的大问题: f(1)的值是哪此?

你要要们 歌词 用栈来保存你要要们 歌词 在探索过程中的大问题。C语言中,函数的调用由于着是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,统统有很自然的,递归用栈来保存你要要们 歌词 的“大问题” 。

你要要们 歌词 假设栈向下增长。首先,你要要们 歌词 调用f(5000),如此当执行到

return f(n-1) + n; 

f(5000)暂停执行,并记录当前的状况,比如n的值,当前执行到的位置。如果调用f(99),栈增加有有有2个frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

如果返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(5000),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(5000)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,不都可以不都可以 自行手动实现栈。原本 不都可以否 得到更好的运行波特率单位。

总结

数学归纳法

递归

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